دانلود مقاله ISI انگلیسی شماره 9982 + ترجمه فارسی
عنوان فارسی مقاله

سیاست سرمایه گذاری بهینه در فرمول بندی متوسط - واریانس سازگار با زمان

کد مقاله سال انتشار مقاله انگلیسی ترجمه فارسی
9982 2013 12 صفحه PDF 40 صفحه WORD
خرید مقاله
پس از پرداخت، فوراً می توانید مقاله را دانلود فرمایید.
عنوان انگلیسی
Optimal investment policy in the time consistent mean–variance formulation
منبع

Publisher : Elsevier - Science Direct (الزویر - ساینس دایرکت)

Journal : Insurance: Mathematics and Economics , Volume 52, Issue 2, March 2013, Pages 145–156

فهرست مطالب ترجمه فارسی
چکیده
کلمات کلیدی
1- مقدمه
2- رابطه ی بین سازگاری زمانی معیار ریسک پویا  و سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه
2-1 سیاست سرمایه گذاری و بازار اوراق بهادار
2-2 رابطه ی بین سازگاری زمانی معیار ریسک پویا و سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه
3- مدل واریانس-متوسط سازگار با زمان
4- سیاست سرمایه گذاری بهینه با سازگاری زمانی فقط همراه با داراییهای پرمخاطره
5- سیاست سرمایه گذاری بهینه با سازگاری زمانی  همراه با هر دو دارایی پرمخاطره و فاقد ریسک
6- مثال عددی
7- نتیجه گیری
کلمات کلیدی
’ثبات زمان - میانگین - واریانس - سیاست سرمایه گذاری مطلوب - اصل بهینگی بلمن - روش ضریب لاگرانژ -
ترجمه چکیده
سازگاری زمانی به عنوان شرط ضروری برای معیار ریسک چند دوره ای می تواند از 2 جنبه بررسی گردد: معیار ریسک پویا و سیاست سرمایه گذاری بهینه. در این مقاله، در ابتدا به مطالعه ی رابطه ی بین سازگاری زمانی معیار ریسک پویا و سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه می پردازیم و نتایج ذیل را به دست می آوریم: اگر نگاشت ریسک پویا با زمان سازگار و تکنوا باشد، درآنصورت سیاست سرمایه گذاری بهینه ی مرتبط، تامین کننده ی شرایط سازگاری زمانی است؛ با اینحال، اگر نگاشت ریسک پویا سازگاری زمانی داشته باشد اما یکنوا نباشد، درآنصورت شرایط سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه دیگر تامین نخواهند شد. ازآنجاکه عملگر واریانس تامین کننده ی ویژگی هموارسازی نیست، سیاست سرمایه گذاری بهینه ی ناشی از مدل فعلی متوسط – واریانس چند دوره ای سازگاری زمانی ندارد. برای غلبه بر این کمبود، نمادگذاری نگاشت شرطی مورد انتظار تفکیک پذیر را پیشنهاد می کنیم و سپس یک مدل متوسط – واریانس پویای سازگار با زمان را ایجاد می کنیم. ما اثبات می کنیم که سیاست سرمایه گذاری بهینه ناشی از مدل ما سازگاری زمانی دارد. به علاوه، برای دو نمونه ی دارای یا فاقد دارایی بدن ریسک، سیاست سرمایه گذاری بهینه ی تحلیلی سازگار با زمان و مرز موثر متوسط – واریانس مدل جدید با محدودیت خودکفا [با تامین مالی از داخل] را به دست می آوریم. درنهایت، نتایج عددی نشان دهنده ی انعطاف پذیری و برتری مدل متوسط – واریانس چند دوره ای و سیاست سرمایه گذاری بهینه ی ما بر موارد موجود در منابع هستند
ترجمه مقدمه
اکنون پذیرفته شده است که سازگاری زمانی بایستی شرط لازم برای معیار ریسک چند دوره ای و معضلات انتخاب پرتفوی مرتبط باشد. کلا، می توان سازگاری زمانی را از 2 جنبه بررسی کرد: معیار ریسک پویا و سیاست سرمایه گذاری بهینه. هدف از سازگاری زمانی معیار ریسک پویا مشخص کردن رابطه ی میان ریسکها در تک تک مراحل است. پژوهش در مورد سازگاری زمانی را می توان در تحقیقات قبلی Koopmans (1960)، Kreps و (Porteus (1978 و Epstein و (Zin (1989 جستجو کرد؛ این مطالعات عمدتا راجع به سازگاری زمانی اولویتها به لحاظ تابع مطلوبیت است. اول بار( Wang (1999 نکته ی سازگاری زمانی معیار ریسک را پیشنهاد داد که ایده ی اصلی آن را می توان به سادگی به قرار ذیل شرح داد: برای دو موقعیت سرمایه گذاری X و Y، چنانچه تحت یک معیار خاص ریسک در هر زمان در آینده، X ریسک بیشتری نسبت به Y داشته باشد، درآنصورت تحت همان معیار در حال حاضر، X ریسک بیشتری نسبت به Y دارد. با الهام گیری از این ایده، Roorda و همکاران (2005) و Artzner و همکاران (2007) به بررسی معیارهای منسجم ریسک چند دوره ای پرداختند و سازگاری زمانی پویایی مشابه با مورد ارائه شده توسط (Wang (1999را ارائه کردند. برای تعمیم آن،Roorda و همکاران (2005) و Roorda و (Schumacher (2007 دو سازگاری زمانی ضعیفتر دیگر را پیشنهاد کردند: سازگاری زمانی متوالی و سازگاری زمانی شرطی. برای معیار ریسک محدب پویا، شرایط مشابهی نظیر شرایط سازگاری زمانی پویا نیز ارائه شده اند. برای نمونه، به Detlefsen و Scandolo (2005)، Föllmer و (Penner (2006 و منابع آنها رجوع کنید. بعلاوه، Cheridito و (Kupper (2009 تابع مطلوبیت پویا را درنظرگرفتند و سازگاری زمانی را پیشنهاد کردند که به سازگاری زمانی پویا شباهت دارد. در تمام مقالات فوق، مولفین تنها به ثروت نهایی توجه دارند. بااینحال، برای مسئله ی سرمایه گذاری چنددوره ای، سرمایه گذاران معمولا بیشتر معطوف به موقعیتهای سرمایه گذاری در دوره های میانی هستند. بنابراین، Riedel (2004گردش وجوه در کل افق سرمایه گذاری را بررسی می کند و قضیه ی سازگاری زمانی را مطرح می کند (که سازگاری زمانی پویا نیز نامیده می شود) که می توان آنرا به قرار ذیل بیان کرد: برای هر دو گردش وجوه A و B، اگر تحت معیار ریسک مشخص در دوره ی t + 1 در آینده، ارزش یکسانی داشته باشند و در مرحله ی بین t و t + 1، A با B یکسان باشد، درآنصورت تحت معیار دوره ی حاضر t، A و B هم ارزش هستند. نکات مشابهی نیز در تحقیقات Cheridito و همکاران (2006) و (Ruszczyński (2010مطرح شده اند. اگر معیار ریسک پویا سازگاری زمانی پویا داشته باشد، درآنصورت، می توان آنرا بصورت بازگشتی توسط معیار ریسک تک دوره ای مرتبط بیان کرد. این نتیجه گیری را به ترتیب می توان در مطالعه ی Detlefsen و (Scandolo (2005برای معیارهای ریسک محدب پویا و در مطالعه ی Roorda و (Schumacher (2007رای معیارهای ریسک منسجم پویا مشاهده کرد. به همین منظور، در برخی مقالات، روابط بازگشتی برای تعیین سازگاری زمانی معیارهای ریسک پویا انتخاب شده اند، برای نمونه Cheridito و همکاران (2006)، و Jobert و (Rogers (2008. در مقایسه با سازگاری زمانی معیارهای ریسک پویا، تحقیقات راجع به سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه اندک هستند. سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه حتی برای برخی از معیارهای ریسک رایج صادق نیست؛ برای نمونه Boda و (Filar (2006 اشاره کرده اند که سیاست سرمایه گذاری بهینه تحت VaR یا CVaR سازگاری زمانی ندارند. Boda و (Filar (2006 با الهام از اصل بهینگی برنامه نویسی پویا، قضیه ی سازگاری زمانی در مورد سیاست سرمایه گذاری بهینه را ازطریق ارائه ی دو شرط ذیل مطرح کردند: (A1) برای مسئله ی سرمایه گذاری بهینه با توجه به برخی معیارهای ریسک، سیاست مرتبط -که متشکل از تصمیمات مرحله به مرحله ی بهینه ی اتخاذ شده بصورت بازگشتی توسط روش برنامه نویسی پویا است-نیز سیاست سرمایه گذاری بهینه برای کل برنامه به شمار می رود. خلاصه اینکه، بهینه ی محلی بصورت جهانی نیز بهینه است. (A2) برای سیاست سرمایه گذاری بهینه ی مسئله ی سرمایه گذاری بهینه ی کل، سیاست خرد نیز سیاست بهینه برای مسئله ی خرد مرتبط است که درواقع همان اصل بهینگی Bellman است. درحال حاضر، اکثر مطالعات راجع به سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه عمدتا به (A2) اشاره دارند (برای نمونه، به Cui و همکاران، 2012، Wang و Forsyth، 2011 رجوع شود) که آن نیز سازگار به لحاظ زمانی خوانده می شود. بااینحال، به منظور تضمین عقلانی بودن حل مسئله ی پرتفوی بهینه توسط روش برنامه نویسی پویا، (A1) شرطی ضروری است. بنابراین، دراین مقاله، هم (A1) و هم (A2) را به عنوان تعریف سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه درنظر می گیریم. (Shapiro (2009 برداشت دیگری درمورد سازگاری زمانی سیاست بهینه مطرح می کند که ایده ی اصلی آن اینست که استراتژی بهینه در هر وضعیت نبایستی وابسته به سناریوهایی باشد که نتوانند در آینده روی دهند. برای برخی مسائل بهینه سازی، حتی اگر بتوانیم معادلات برنامه نویسی پویای مرتبط را استخراج کنیم، ممکن است سازگاری زمانی فوق تامین نگردد. این برای نمونه وقتی اتفاق می افتد که برخی متغیرهای تصمیم به درخت سناریوی کل وابسته باشند. بنابراین، نکته ی فوق راجع به سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه با اصل بهینگی Bellman مشابهت دارد، ولی با آن یکسان نیست. در اکثر موارد، حتی استراتژی سرمایه گذاری بهینه ناشی از مسائل انتخاب پرتفوی نسبتا ساده لزوما ازنظر تحقیق (Shapiro (2009 سازگاری زمانی ندارند. برای مسئله ی سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه جهت مسائل انتخاب پرتفوی تحت VaR یا CVaR، می توان به Boda و (Filar (2006رجوع کرد. به عنوان دو جنبه از سازگاری زمانی، بایستی ارتباطی میان سازگاری زمانی معیار ریسک پویا و سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه موجود باشد. این رابطه مشخصا در منابع بررسی نشده است. به همین خاطر، ابتدا در این مقاله نشان می دهیم که: اگر معیار ریسک پویا سازگاری زمانی پویا و یکنوایی را از نظر (Wang (1999 تامین نکند، درآنصورت سیاست سرمایه گذاری بهینه مرتبط شرایط سازگاری زمانی (A1) و (A2) پیشنهادی توسط Boda و (Filar (2006 را ارضا می کند. بااینحال، اگر معیار ریسک پویا سازگاری زمانی داشته باشد، اما یکنوا نباشد، درآنصورت سیاست سرمایه گذاری بهینه ی حاصل شده فقط اصل بهینگی Bellman یعنی (A2) را تامین می کند. مشهور است که به منظور یافتن پرتفوی بهینه، می بایست با معضلی مواجهه کرد: کاستن ریسک یا افزایش بازگشت سرمایه گذاری. (Markowitz (1952 اولین روش نظام مند را برای مواجهه با این معضل پیشنهاد داد و پژوهش اثرگذار وی به عنوان شالوده ی نظریه ی تامین مالی مدرن تلقی می گردد. پیرو مدل واریانس متوسط ( Markowitz (MV، تعداد زیادی تحقیق راجع به انتخاب پرتفوی بهینه مطرح شدند، برای نمونه، به مقاله ی انتقادی( Steinbach (2001 و 208 منبعی که درآن هستند، رجوع کنید.(Merton (1972 پاسخ تحلیلی بهینه ی مدل ایستای MV را بدون محدودیتهای پیش فروش کردن به دست می آورد. مدل تک دوره ی MV بصورت گسترده ای مطالعه و پیاده شده است. با اینحال، وقتی سرمایه گذار در نقطه ی زمانی خاصی در آینده شرط خاصی داشته باشد، ضعیف است. بنابراین، مدل ایستا طبیعتا به مورد چنددوره ای تعمیم می یابد. قدیمیترین تحقیق راجع به مسائل چنددوره ای به پژوهش توبین (1965) برمی گردد. (Merton (1969مسئله ی انتخاب پرتفوی مسئله ی MV با زمان پیوسته را بررسی می کند. Dumas و (Luciano (1991 به مطالعه ی هرچه بیشتر مسئله ی چند دوره ای با هزینه های معامله پرداختند. متاسفانه، کلیه ی این پژوهشها راهکاری صریح یا روشی موثر را برای تعیین استراتژی سرمایه گذاری بهینه فراهم نمی کنند. Li و (Ng (2000فقط با محدودیت تامین مالی داخلی مسئله ی MVچند دوره ای را با گنجاندن آن در مسئله ی کمکی پارامتری تفکیک پذیر حل می کنند و سیاست بهینه ی تحلیلی را به دست می آورند. در همان سال، مسئله ی MV با زمان پیوسته توسط Zhou و ( Li (2000 نیز مطالعه شد. بعلاوه، لی و همکاران (2001) مدل MV با زمان پیوسته بدون محدودیتهای پیش فروش را بررسی کردند. به عنوان جزء حتمی کنترل ریسک، Zhu و همکاران (2004) به مطالعه ی مدل MV چند دوره ای همراه با محدودیتهای ورشکستگی پرداختند و سیاست سرمایه گذاری بهینه ی تحلیلی را استنباط کردند. Bielecki و سایرین (2005) مدل MV با زمان پیوسته همراه با کنترل ورشکستگی را بیشتر بررسی کردند. در کلیه ی مقالات فوق راجع به مسئله ی MV چند دوره ای و دیگر مطالعات مرتبط در Li و همکاران (1998)، Yu و همکاران(2005)، Yu و همکاران(2010) و Cui و همکاران(2012)، فرض می شود که عواید تصادفی داراییهای پرمخاطره در دوره های مختلف برای حصول بیان صریح جهت سیاست سرمایه گذاری بهینه، به لحاظ آماری وابسته هستند. ازآنجاکه عملوند واریانس همانند عملوند پیش بینی، تامین کننده ی ویژگی یکنواخت سازی نیست (Li و Ng، 2000)، سیاست سرمایه گذاری بهینه ی تحلیلی ناشی از مسائل MV چند دوره ای یا با زمان پیوسته تامین کننده ی اصل بهینگی Bellman نیست. برای رفع این مشکل، Cui و همکاران (2012) درمقایسه با اصل بهینگی Bellman، سازگاری زمانی ضعیف یعنی سازگاری زمانی در کارایی را مطرح می کنند. اختلاف اصلی این نظر سازگاری زمانی با اصل بهینگی Bellman آنست که سیاست خرد سیاست بهینه، سیاست بهینه ی مسئله ی خرد مرتبط است که در آن پارامتر توازن درطول زمان نوسان می کند. از سوی دیگر، با اعمال اصل بهینگی Bellman به عنوان یک محدودیت در مدل MV با پیوستگی زمانی، وقتی محدودیتهای دیگری نظیر ورشکستگی، عدم پیش فروش به مسئله افزوده می شدند، Wang و (Forsyth (2011به ترتیب به مقایسه ی یافته های موثر بدست آمده از سیاست بهینه ی سازگار با زمان و سیاست بهینه با تعهد قبلی پرداختند. متاسفانه، شاهد بوده ایم که کلیه ی مطالعات فوق و منابع فعلی چنین مدل MV پویایی را فراهم نمی کنند که بتوانیم آنرا بصورت تحلیلی حل کنیم و سیاست بهینه ای بدست بیاوریم که شرایط سازگاری زمانی (A1) و (A2) را تامین کند. به همین منظور، در این مقاله مدل MV چند دوره ای همراه با قید تامین داخلی از داخل را ارائه می کنیم، سپس با استفاده از تکنیک برنامه نویسی پویا، سیاست سرمایه گذاری بهینه ی تحلیلی حاصل می گردد و مهمتر آنکه، نشان می دهیم که این سیاست تامین کننده ی شرایط سازگاری زمانی (A1) و (A2) است. باقی این مقاله به قرار ذیل سازماندهی شده است. در بخش بعد، رابطه ی بین سازگاری زمانی معیار ریسک پویا و سازگاری زمانی سیاست سرمایه گذاری بهینه را بررسی می کنیم. در بخش 3، مدل MV چند دوره ای تفکیک پذیر را مطرح می کنیم و اثبات می کنیم که سیاست سرمایه گذاری بهینه ی حاصل شده تامین کننده ی شرایط سازگاری زمانی (A1) و (A2)خواهد بود. در بخش 4، درابتدا بازار اوراق بهادار فقط با داراییهای پرمخاطره را بررسی می کنیم و سیاست سرمایه گذاری بهینه تحلیلی سازگار با زمان را به دست می آوریم. سپس، سیاست سرمایه گذاری بهینه تحلیلی سازگار با زمان در بخش 5 برای بازار اوراق بهادار هم برای داراییهای پرمخاطره و هم برای داراییهای بدون مخاطره به دست می آید. در بخش 6، برخی نتایج تجربی را ارائه می کنیم. درنهایت، بخش نتیجه گیری را داریم.
پیش نمایش مقاله
پیش نمایش مقاله سیاست سرمایه گذاری بهینه در فرمول بندی متوسط - واریانس سازگار با زمان

چکیده انگلیسی

As a necessary requirement for multi-period risk measure, time consistency can be examined from two aspects: dynamic risk measure and optimal investment policy. In this paper, we first study the relationship between the time consistency of dynamic risk measure and the time consistency of optimal investment policy and obtain the following conclusions: if the dynamic risk mapping is time consistent and monotone, then the corresponding optimal investment policy satisfies the time consistency requirements; however, if the dynamic risk mapping is time consistent but not monotone, then the time consistency requirements of an optimal investment policy will no longer be satisfied. Since the variance operator does not satisfy the smoothing property, the optimal investment policy derived from the existing multi-period mean–variance model is not time consistent. To overcome this shortcoming, we propose the notation of a separable expected conditional mapping and then construct a time consistent dynamic mean–variance model. We prove that the optimal investment policy derived from our model is time consistent. Moreover, for two cases with or without a riskless asset, we obtain the time consistent analytical optimal investment policy and the mean–variance efficient frontier of the new model with the self-financing constraint. Finally, numerical results illustrate the flexibility and superiority of our multi-period mean–variance model and the optimal investment policy over those in the literature.

مقدمه انگلیسی

It is now accepted that the time consistency should be a necessary requirement for the multi-period risk measure and relevant portfolio selection problems. In general, we can discuss the time consistency from two aspects: dynamic risk measure and optimal investment policy. The time consistency of dynamic risk measure aims at characterizing the relationship among risks at individual stages. Research about time consistency can be traced back to Koopmans (1960), Kreps and Porteus (1978), and Epstein and Zin (1989); these studies are mainly about the time consistency of preferences in terms of the utility function. Wang (1999) first proposed the notion of time consistency of risk measure, whose main idea can be simply described as follows: for two investment positions X and Y, if X is riskier than Y under a specific risk measure at any time in the future, then X is riskier than Y under the same measure at present. Inspired by this idea, Roorda et al. (2005) and Artzner et al. (2007) consider the multi-period coherent risk measures and propose a dynamic time consistency similar to that of Wang (1999). As an extension to that, Roorda et al. (2005) and Roorda and Schumacher (2007) further propose two weaker time consistencies, sequential time consistency and conditional time consistency. For the dynamic convex risk measure, similar definitions as that of the dynamic time consistency are also introduced, see, for example, Detlefsen and Scandolo (2005), Föllmer and Penner (2006) and the references therein. Moreover, Cheridito and Kupper (2009) consider the dynamic utility function and propose a time consistency which is similar to dynamic time consistency. In all the above papers, the authors only pay attention to the terminal wealth. However, for the multi-period investment problem, investors are usually more concerned with investment positions at intermediate periods. Riedel (2004) thus considers the cash flow over the entire investment horizon and proposes the notion of time consistency (also called dynamic time consistency) which can be expressed as follows: for any two cash flows A and B, if they have the same value under a given risk measure at period t+1 in the future and A is the same as B at the stage between t and t+1, then A and B have the same value under the measure at the present period t. Similar notions are also proposed in Cheridito et al. (2006) and Ruszczyński (2010). If the dynamic risk measure is dynamic time consistent, then, it can be expressed recursively by the corresponding single-period risk measure. This conclusion can be found in Detlefsen and Scandolo (2005) for dynamic convex risk measures and Roorda and Schumacher (2007) for dynamic coherent risk measures, respectively. For this reason, in some papers, recursive relations are adopted to define the time consistency of dynamic risk measures, see, for example, Cheridito et al. (2006), and Jobert and Rogers (2008). Compared with the time consistency of dynamic risk measures, research about the time consistency of an optimal investment policy are few. Time consistency of the optimal investment policy does not hold even for some popular risk measures; for instance, Boda and Filar (2006) has pointed out that the optimal investment policy under VaR or CVaR are not time consistent. Inspired by the optimality principle of dynamic programming, Boda and Filar (2006) propose the notion of time consistency about the optimal investment policy through introducing the following two requirements: (A1) For the optimal investment problem with respect to some risk measure, the corresponding policy constituted by the stage-wise optimal decisions recursively obtained by the dynamic programming method is also the optimal investment policy to the whole problem. In short, local optimum is also globally optimum. (A2) For the optimal investment policy of the whole optimal investment problem, the sub-policy is also the optimal policy for the corresponding sub-problem, which is actually Bellman’s optimality principle. At present, most studies about the time consistency of an optimal investment policy are mainly referred to (A2) (see, for example, Cui et al., 2012, Wang and Forsyth, 2011), which is also called time consistent. However, in order to ensure the reasonability of solving the relevant optimal portfolio problem by the dynamic programming method, (A1) is an essential requirement. Therefore, in this paper, we will adopt both (A1) and (A2) as the definition of time consistency of the optimal investment policy. Shapiro (2009) proposes another understanding about time consistency of the optimal policy, the main idea is that the optimal strategy in any state should not depend on the scenarios which cannot happen in the future. For some optimization problems, even if we can derive the corresponding dynamic programming equations, the above time consistency might not be satisfied. This happens, for example, when some decision variables depend on the whole scenario tree. Therefore, the above notion about the time consistency of the optimal investment policy is similar to Bellman’s optimality principle but not the same. In most cases, even the optimal investment strategy derived from relatively simple portfolio selection problems are not necessarily time consistent in the sense of Shapiro (2009). One can refer to Boda and Filar (2006) for the time consistency issue of the optimal investment policy of portfolio selection problems under VaR or CVaR. As two aspects of time consistency, there should exist some connection between the time consistency of dynamic risk measure and the time consistency of optimal investment policy. This relationship has not been clearly examined in the literature. Due to this, we firstly show in this paper: if the dynamic risk measure satisfies the monotonicity and dynamic time consistency in the sense of Wang (1999), then the corresponding optimal investment policy satisfies the time consistency requirements (A1) and (A2) proposed by Boda and Filar (2006). However, if the dynamic risk measure is time consistent but not monotone, then the derived optimal investment policy only satisfies Bellman’s optimality principle, that is, (A2). It is well known that, in order to find the optimal portfolio, one has to face a dilemma: to reduce risk or to increase the investment return. Markowitz (1952) proposes the first systematic method to deal with this dilemma, and his seminal work is considered to be the foundation of modern finance theory. Following Markowitz’s mean–variance (MV) model, a great number of researches about the optimal portfolio selection have been aroused, see, for example, the review paper by Steinbach (2001) and 208 references therein. Merton (1972) obtains the analytical optimal solution of the static MV model with no short-selling constraints. The single-period MV model has been widely studied and applied. However, it is powerless when the investor has a particular requirement at a specific time point in the future. Therefore, the static model is naturally extended to the multi-period case. The earliest research about the multi-period problem can be traced back to Tobin (1965). Merton (1969) considers the portfolio selection problem of the continuous-time MV problem. Dumas and Luciano (1991) further study the multi-period problem with transaction costs. Unfortunately, all these works do not provide an explicit solution or an efficient method to determine the optimal investment strategy. With only the self-financing constraint, Li and Ng (2000) solve the multi-period MV problem by embedding it into a separable parametric auxiliary problem and obtain the analytical optimal policy. In the same year, the continuous-time MV problem was also studied by Zhou and Li (2000). Furthermore, Li et al. (2001) consider the continuous-time MV model with no short-selling constraints. As an indispensable ingredient of risk control, Zhu et al. (2004) study the multi-period MV model with bankruptcy constraints and derive the analytical optimal investment policy. Bielecki et al. (2005) further consider the continuous-time MV model with bankruptcy control. In all the above papers about the multi-period MV problem and other relevant studies in Li et al. (1998), Yu et al. (2005), Yu et al. (2010), and Cui et al. (2012), it is assumed that the random returns of risky assets among different periods are statistically independent in order to derive an explicit expression for the optimal investment policy. Since the variance operator does not satisfy the smoothing property as that of the expectation operator (Li and Ng, 2000), the analytical optimal investment policy derived from the above multi-period or continuous-time MV problems does not satisfy Bellman’s optimality principle. To overcome this difficulty, Cui et al. (2012) propose a weak time consistency compared to Bellman’s optimality principle, i.e., time consistency in efficiency. The main difference of this notion of time consistency from Bellman’s optimality principle is that the sub-policy of an optimal policy is the optimal policy of the corresponding sub-problem where the trade-off parameter varies over time. On the other hand, imposing Bellman’s optimality principle as a constraint in the continuous-time MV model, Wang and Forsyth (2011) compare the efficient frontiers obtained from the time consistent optimal policy and the pre-commitment optimal policy, respectively, when additional constraints, such as bankruptcy, no short-selling, are added to the problem. Unfortunately, all the above studies and the current literature we have seen do not provide such a dynamic MV model that we can solve it analytically and obtain an optimal policy which satisfies the time consistency requirements (A1) and (A2). To this end, we propose in this paper a multi-period MV model with the self-financing constraint, the analytical optimal investment policy is then derived by using the dynamic programming technique and, more importantly, we show that the policy satisfies the time consistency requirements (A1) and (A2). The rest of this paper is organized as follows. In the next section, we investigate the relationship between the time consistency of dynamic risk measure and the time consistency of the optimal investment policy. In Section 3, we propose a separable multi-period MV model and prove that the resulting optimal investment policy would satisfy the time consistency requirements (A1) and (A2). In Section 4, we firstly consider a security market with only risky assets and obtain the time consistent analytical optimal investment policy. The time consistent analytical optimal investment policy is then derived in Section 5 for the security market with both the riskless asset and risky assets. In Section 6, we provide some empirical results. Finally, we have a concluding section.

نتیجه گیری انگلیسی

In this paper, we first study the relationship between the time consistency of dynamic risk measure and the time consistency of the optimal investment policy and show that: if the dynamic risk mapping is time consistent and monotone, then the corresponding optimal investment policy satisfies the time consistency requirements proposed by Boda and Filar (2006); however, if the dynamic risk mapping is time consistent but not monotone, then the optimal investment policy only satisfies Bellman’s optimality principle. To overcome the time inconsistency of the optimal investment policy derived from the existing multi-period mean–variance models, we propose the notation of a separable expected conditional mapping and then establish the time consistent multi-period mean–variance model. Furthermore, we prove that the optimal investment policy obtained from our model satisfies the time consistency requirements (A1) and (A2) in Boda and Filar (2006). Depending on whether the security market includes the riskless asset or not, we further obtain the explicit formation for the time consistent optimal investment policy of the proposed multi-period MV model with the self-financing constraint. Finally, numerical results demonstrate the flexibility and superiority of our new model and the resulting optimal investment policy over those in the literature. In this paper, we assume that the random returns of risky assets among different periods are independent. It is important from practical point of view to consider the corresponding time consistent optimal investment policy problem for the general situation where the random returns of risky assets among different periods are correlated. Meanwhile, our study is carried out under the MV framework, another interesting topic is how to extend the results obtained in this paper to other multi-period models where the risk is measured by other methods like VaR, CVaR.

خرید مقاله
پس از پرداخت، فوراً می توانید مقاله را دانلود فرمایید.