تحلیل گراف پدیداری برای سری‌های زمانی نمونه‌برداری مجدد از فرآیندهای تصادفی خود همبسته

چکیده

کلمات کلیدی

1-مقدمه

2- ویژگی‌های ساختاری (H)VG 

2-1- توزیع‌های درجه‌ای 

2-2- مقیاس‌های شبکه‌ای سراسری 

3- الگوریتم نمونه‌برداری مجدد برای سری‌های زمانی 

4- نتایج 

4-1- توابع خود-همبسته‌ی فرآیندهای AR 

4-2- اثرات طول همبستگی بر روی توزیع‌های درجه‌ای 

4-3- اثرات تأخیرهای نمونه‌برداری مجدد بر روی ویژگی‌های شبکه‌ای 

5- نتیجه‌گیری 

گراف پدیداری (VG) و گراف پدیداری افقی (HVG) نقشی حیاتی در رویکردهای شبکه‌ای پیچیده‌ی مدرن برای تحلیل سری‌های زمانی غیرخطی ایفا می‌کنند. بااین‌حال، بسته به فرآیندهای زمینه‌ای پویا، همچنان شناسایی توزیع‌های درجه نمایی فرضی، انجام نشده است. اخیراً بیان شده که یک مقدار بحرانی برای نمای وجود دارد که فرآیندهای تصادفی بی‌نظم را از فرآیندهای تصادفی همبسته جدا می‌کند. در اینجا ما تحلیل (H)VG را به شکلی نظام‌مند برای سری‌های زمانی به‌دست‌آمده از مدل‌های خود همبسته (AR) به کار می‌گیریم که این فرضیه را تائید می‌کند که افزایش طول همبستگی منجر به مقادیر بزرگ‌تر خواهد شد. از سوی دیگر، به شکل عددی، رژیمی از افزایش‌های فرآیند با همبستگی منفی را می‌یابیم که در آن‌ها و در تناقض با این فرضیه است. به‌علاوه، با ساخت گراف‌های مبتنی بر سری‌های زمانی نمونه‌برداری مجدد، درمی‌یابیم که مقیاس‌های شبکه، نشان‌دهنده‌ی وابستگی‌های معنادار به توابع خود-همبسته‌ی فرآیندها هستند. پیشنهاد می‌دهیم که زمان زدایش همبستگی به‌عنوان تأخیر بیشینه‌ی نمونه‌برداری مجدد در این الگوریتم استفاده شود. نتایج برای سری‌های زمانی به‌دست‌آمده از فرآیندهای AR(1) و AR(2) ارائه شده‌اند.

در سال‌های اخیر، نمایش‌های شبکه‌ای پیچیده از سری‌های زمانی برای مشخص کردن سیستم زمینه‌ای پیشنهاد شده‌اند [1-6] که مجموعه‌ی گسترده‌ای از حوزه‌های کاربردی را در برمی‌گیرد. برای مثال، رویکردهای شبکه‌ای بازگشتی برای تحلیل داده‌های آب و هوایی [4، 7]، نوسان‌سازهای الکتروشیمیایی بی‌نظم [8] یا داده‌های جریان دوفازی [9] استفاده شده‌اند. تعدادی ساختار موضوعی شبکه‌ای اساسی در داده‌های موسیقایی یافت شده‌اند [10]. الگوریتم‌های گراف پدیداری (VG)و گراف پدیداری افقی (HVG) با موفقیت برای داده‌های مربوط به طوفان در ایالات‌متحده [11]، بازار مالی [12]، تلاطم [13، 14] و سری‌های زمانی نقاط خورشیدی [15، 16] استفاده شده‌اند و اطلاعات جدیدی بر اساس دیدگاه سیستم‌های پیچیده به دست داده‌اند. چندین روش دیگر در [10] موردبحث قرار گرفته‌اند. در این مطالعه، ما (H)VGها [3، 17، 18] را برای سری‌های زمانی تولیدشده توسط مدل‌های خود-همبسته تولید می‌کنیم. به‌منظور استفاده از رویکردهای (H)VG، تبدیل صحیح سری‌های زمانی به نمایش شبکه‌ای الزامی است. الگوریتم VG یک مجموعه‌ی دارای ترتیب زمانی از N عدد حقیقی را به یک گراف G با N رأس نگاشت می‌کند که به‌صورت کامل توسط ماتریس مجاورت دودویی A توصیف می‌شود. به شکلی دقیق‌تر، اجازه دهید یک سری زمانی تک متغیری را در نظر بگیریم که در آن، N نشان‌دهنده‌ی طول سری زمانی و زیرنویس نشان‌دهنده‌ی زمان نمونه‌برداری گسسته است. در رابطه با VG مربوطه، تک مشاهدات به‌عنوان رئوس یک شبکه‌ی پیچیده تفسیر می‌شوند و یال‌ها بین جفت رئوسی قرار می‌گیرند که یک شرط پدیداری را اقناع می‌کنند، یعنی: که باید برای تمام نقاط با صدق کند [3]. به‌عنوان یک تغییر چشم‌گیر در الگوریتم VG، ملاک ساده‌شده‌ی HVG در [17] پیشنهاد شده است. علی‌الخصوص، دو مشاهده‌ی انجام‌شده در زمان‌های و در HVG مرتبط باهم فرض می‌شوند اگر و تنها اگر برای تمامی ها با داشته باشیم: به‌سادگی می‌توان مشاهده کرد که مجموعه یال HVG مرتبط با یک سری زمانی مفروض درواقع زیرمجموعه‌ای از مجموعه یال‌های VG مربوطه است. یکی از مزیت‌های HVG آن است که برای بعضی فرآیندهای تصادفی ساده، بعضی ویژگی‌های اساسی گراف را می‌توان به شکل تحلیلی محاسبه نمود [18]. مطالعات اخیر در خصوص (H)VGها بیشتر بر روی ویژگی‌های توزیع درجه تمرکز کرده‌اند. در رابطه با HVG، اشکال تابعی نمایی برای بسیاری فرآیندهای تصادفی به دست آمده‌اند، یعنی . یک عامل مقیاس دهی برابر با برای نویز غیرهمبسته (نویز سفید) یافت شده است که همچنین پیشنهاد شده به شکل زیر برای جداسازی پویایی‌های تصادفی از پویایی‌های بی‌نظم استفاده شود [18-20]: (الف) سری‌های تصادفی هم‌بسته توسط نشان داده می‌شوند که به‌آرامی به سمت یک ارزش مجانبی برابر با برای همبستگی‌های بسیار ضعیف میل می‌کند درحالی‌که (ب) سری‌های بی‌نظم معمولاً توسط به ترتیب برای همبستگی‌های کاهشی یا ابعاد بی‌نظم افزایشی مشخص می‌شوند [18]. در این مطالعه، تعدادی نمونه‌ی دیگر برای پشتیبانی از استدلال (الف) ارائه می‌شود. درعین‌حال، تعدادی نتیجه‌ی عجیب را ارائه می‌کنیم که نشان می‌دهند را نباید به‌عنوان یک مقدار بحرانی سراسری جداکننده‌ی بی‌نظمی از نویز تفسیر کرد. در فرآیندهای کسری، نتایج عددی نشان می‌دهند که یک قانون توانی [3] یعنی را نشان می‌دهد. برای مثال، تحلیل VG برای مشخص کردن حرکات براونی کسری پیشنهاد شده است که نوعی رابطه‌ی اکتشافی بین و نمای هرست فرآیند را می‌یابد [21، 22]. بسته به ویژگی‌های کسری فرآیند زمینه‌ای، اخیراً الگوریتمی برای ساختن VGها از روی سری‌های زمانی بخش‌بندی شده، ارائه شده است [23] که نماهای قانون توانی نشان‌دهنده‌ی ویژگی‌های بدون مقیاس را به‌خوبی تخمین می‌زند. این ایده بر اساس انتخاب درست تأخیر زمانی است که سری زمانی اولیه را نمونه‌برداری مجدد می‌کند و منجر به تعدادی بخش‌بندی می‌شود. همان‌طور که در ادامه بحث می‌کنیم، تعداد بخش‌هایی که باید استفاده شود اغلب در الگوریتم اولیه مشخص نیست. به‌عبارت‌دیگر، ما حد بالای برای پایان دادن به محاسبات را نمی‌دانیم. تاکنون، انتخاب اکتشافی تنها برای حالتی پیشنهاد شده که ویژگی‌های شبکه‌ای سری‌های زمانی بخش‌بندی شده، رفتار تا حدی همگرا را نشان می‌دهند [23]. در این مطالعه، ما بر اعمال تحلیل (H)VG بر فرآیندهای تصادفی خود-همبسته (AR) تمرکز می‌کنیم که اغلب بعضی فرآیندهای متغیر زمانی خاص را در طبیعت، اقتصاد و غیره توصیف می‌کنند. مدل‌های AR همچنین دارای دو کاربرد گسترده در تحقیقات آب و هوایی هستند. مدل AR مشخص می‌کند که متغیر خروجی به شکل خطی به مقادیر قبلی خود و به یک عبارت تصادفی وابسته است. به شکل دقیق‌تر، یک مدل AR از درجه‌ی است که به‌صورت نشان داده می‌شود اگر که در آن، عبارت‌اند از ضرایب مقدار-واقعی مدل و نویز سفید است. همچنین فرض می‌کنیم که عبارت‌های خطای از یک توزیع گاوسی با میانگین صفر و واریانس واحد تبعیت می‌کنند. به شکل دقیق‌تر، ما تحلیل VG و همین‌طور HVG را برای فرآیندهای AR(1) و AR(2) در رژیم‌های ثابت آن‌ها اجرا می‌کنیم یعنی (الف) برای مدل AR(1) و (ب) ، ، برای مدل AR(2). سری‌های زمانی مدل‌های AR همبستگی‌های سریالی را نشان می‌دهند که به‌سادگی توسط تابع خود-همبستگی (ACF) نشان داده می‌شوند. برای فرآیندهای ، ACFها را می‌توان به شکل تحلیلی محاسبه کرد [24]. به‌طورکلی، طول همبستگی یک فرآیند تصادفی افزایش خواهد یافت اگر ACF مربوطه تنزل نسبتاً کند به سمت صفر را نشان دهد [25]. اهداف این مطالعه از قرار زیر هستند:. ابتدا، فرضیه‌ی عمومیت مقدار بحرانی هنگامی‌که افزایش‌های ضد همبسته در فرآیندهای AR وجود دارند را می‌آزماییم. دوم، الگوریتم نمونه‌برداری مجدد را برای سری‌های زمانی از مدل‌های اعمال کرده و تحلیل (H)VG موجود را از افشای ویژگی‌های توزیع درجه تعمیم می‌دهیم تا ویژگی‌های شبکه‌ای سراسری را مشخص کنیم. سوم، پیشنهاد می‌دهیم که زمان زدایش همبستگی سری زمانی مفروض به‌عنوان تأخیر بیشینه برای الگوریتم نمونه‌برداری مجدد، استفاده شود که بعدازآن، مقیاس‌های شبکه‌ای به مقادیر مجانبی همگرا می‌شوند که برای فرآیندهای تصادفی غیرهمبسته با تابع توزیع احتمال مفروض، مورد انتظار هستند. این مقاله به شکل زیر سازمان یافته است: در بخش دوم، مقیاس‌های شبکه‌ای اصلی را بررسی می‌کنیم که در این مطالعه استفاده خواهند شد. الگوریتم نمونه‌برداری مجدد را برای به دست آوردن سری‌های زمانی بخش‌بندی شده در بخش سوم ارائه می‌کنیم. نتایج در بخش چهارم ارائه شده و تعدادی نتیجه‌گیری در بخش پنجم ارائه می‌شوند.