تجزیه و تحلیل داده های توپولوژیکی سری های زمانی مالی : چشم انداز سقوط ها

چکیده

کلمات کلیدی

1.مقدمه

2. پیش زمینه

شکل1. فیلترینگ Rips سیمپلکس های پیچیده، تولد و مرگ حلقه ها را طراحی کرده است. نمودار پایداری تک بعدی و چشم اندازهای پایداری مربوطه در زیر نشان داده شده اند. 

3. شرح روش و آزمون در سری های زمان تلفیقی

3.1روش

3.2 سری های زمانی بی نظم با نویز

شکل 2. سری های زمانی مربوط به سیستم معادله (3.2). محور افقی مربوط به مقادیر پارامتر a است.

شکل 3. پیش بینی دو بعدی نقطه ابرهای متناظر شده با دنباله های مختلف زمان؛ با افزایش زمان، مقدار پارامتر a افزایش می یابد (از بالا به پایین). در اطراف هر نقطه، یک دایره آبی از یک شعاع کوچک (ستون سمت چپ) و یک شعاع بزرگتر (ستون سمت راست) برای نشان دادن اینکه چگونه حلقه ها متولد می شوند و می میرند. 

3.3 نویزهای سفید با واریانس در حال رشد

شکل 4. طرح نرم L1  (آبی) و نرم L2 (قرمز) نرمال شده از چشم اندازهای پایداری برای سری های زمانی بی نظم نویزدار. محور افقی متناظر با مراحل زمان و محور عمودی متناظر با نرم هاست. (برای جزییات متن را ببینید).

شکل 5. شبیه سازی مونت کارلو، 100 تحقق، از وابستگی نرم های  L1 (خط قرمز) و L2 (خط آبی) چشم اندازهای پایداری در واریانس در حال رشد نویزهای سفید، در محور افقی مشخص شده است (برای جزییات بیشتر متن را ببینید)

3.4. نویزهای سفید با واریانس معکوس توزیع شده گاما (Gamma)

4. تجزیه و تحلیل تجربی داده های مالی

شکل6. (a) توزیع های گاما با مقادیر متفاوت پارامتر شکل؛ (b) شبیه سازی مونت کارلو از سری های زمانی نرم L1 نرمال شده (خط قرمز) چشم اندازهای پایداری تهیه شده برای بررسی با واریانس معکوس توزیع شده گاما نویزهای سفید. خط خاکستری نشانگر سری های زمانی واریانس متوسط نرمال شده چهار نویز اصلی است. برای جزییات متن را ببینید. 

شکل 7. طرح پراکندگی سری های زمانی بازده لگاریتمی روزانه نرمال شده S&P500 و NASDAQ در طول 50  و100 روز مدت پایانی تاریخ های انتخاب شده. ستون چپ به طور نمادین نشان دهنده تولد در هماهنگی تک بعدی (حلقه ها) در مقیاس خاص (شعاع) در نقطه ابر دو بعدی 50 نقطه داده است. 

شکل 8. نمودارهای پایداری Rips و چشم انداز های پایداری متناظر محاسبه شده با پنجره رولی 50 روز معامله در تاریخ های انتخاب شده. نقطه های توپر سیاه رنگ نشانگر مولفه های متصل هستند، مثلث های قرمز حلقه را نشان می دهند. (a) سقوط تکنولوژی 2000؛ (b) بحران های مالی 2008.

شکل 9. سری های زمانی نرم های L1 (خط آبی) و L2 (خط قرمز) نرمال شده چشم اندازهای پایداری محاسبه شده با پنجره رولی 50 روز. 

شکل 10. 1000 روز معامله قبل از سقوط. از بالا به پایین، سری های زمانی روزانه S&P500 نرمال شده، نرم L1 نرمال شده چشم اندازهای توپولوژیک محاسبه شده با پنجره رولی 50 روز، و VIX. ستون چپ : تقریب سقوط داتکام در 10/3/ 2000. ستون راست: تقریب ورشکستگی Lehman در 15/9/2018.

5. نتیجه گیری

شکل 11. واریانس، چگالی طیفی متوسط در فرکانس های پایین، و اولین تاخیر ACF سری های زمانی نرم های Lp چشم اندازهای پایداری، و VIX برای 250 روز معامله قبل از (a) سقوط تکنولوژی در 10/3/2000؛ (b) ورشکستگی Lehman در 15/9/2008 (برای جزییات متن را ببینید). خط باریک سیاه با L1 متناظر است. 

ما در حال بررسی روند بازده روزانه شاخص های بازار سهام آمریکا در طول سقوط تکنولوژی در سال 2000 و بحران های مالی 2007-2009 هستیم. روش ما بر اساس تجزیه و تحلیل داده های توپولوژیکی (TDA) است. ما از برابری پایداری برای شناسایی و تعیین الگوهای توپولوژیکی که در سری زمانی چند بعدی ظاهر می شود استفاده می کنیم. با استفاده از پنجره رولی، مجموعه داده های نقاط ابر وابسته به زمان را استخراج می کنیم که به آن فضای توپولوژیکی مرتبط کرده ایم. ما حلقه های گذرا را که در این فضا ظاهر می شوند شناسایی می کنیم و پایداری آنها را اندازه گیری می کنیم. این در توابع ارزش واقعی که به عنوان چشم اندازهای پایداری ذکر شده است، کدبندی شده است. ما تغییرات زمانی را در چشم اندازهای پایداری با استفاده از هنجارهای Lp آن ها کمی می کنیم. ما این روش را در سری های زمانی چند بعدی تولید شده توسط مدل های غير خطی و غير تعادلی مختلف آزمایش می کنیم. در می یابیم که در مجاورت بحران های مالی،هنجارهای Lp نشان دهنده رشد قوی قبل از اوج اولیه است که در طول ورشکستگی افزایش می یابد. به طور قابل توجهی، میانگین چگالی طیفی در فرکانس های پایین سری زمانی هنجارهای Lp چشم اندازهای پایداری، روند صعودی قوی را برای 250 روز معاملات قبل از سقوط داتکام در تاریخ 03/10/2000 یا به ورشکستگی Lehman در تاریخ 09 / 15/2008 اثبات کرد. مطالعه ما نشان داد که TDA نوعی جدید از تجزیه و تحلیل اقتصاد سنجی ارایه می دهد که اقدامات آماری استاندارد را تکمیل می کند. این روش می تواند برای شناسایی هشدارهای اولیه نشانه های سقوط بازارهای نزولی باشد. بر این باوریم که این رویکرد را می توان فراتر از تجزیه و تحلیل های سری های زمانی مالی ارایه شده در اینجا استفاده کرد.

تجزیه و تحلیل داده توپولوژیکی (TDA) [1و2] باتوجه به ترکیبی از روش های آماری، محاسباتی، و روش های توپولوژیکی اجازه می دهد که ساختارهای شکل مانند در داده ها را پیدا کنند. TDA ثابت کرده است که می تواند رویکرد اکتشافی قوی ای برای مجموعه داده های پیچیده چند بعدی و نویزی (noisy) باشد. برای استفاده از TDA، یک مجموعه داده به عنوان مجموعه ای محدود از نقاط در برخی فضاهای متریک کدبندی می شود. اصلی کلی و شهودی تحت TDA براساس پایداری منافذ k بعدی، به وطر مثال، مولفه های مرتبط (k = 0)، حلقه ها (k = 1)، و غیره، در یک فضای توپولوژیکی است که از نمونه های تصادفی برای طیف گسترده ای از مقیاس ها (دقت) که در آن داده ها مورد بررسی قرار می گیرد، نتیجه گرفته شده است. بر این اساس، هماهنگی پایداری، ویژگی مهم توپولوژیکی مورد بررسی است [3،4]. روش محاسبه هماهنگی پایداری همبسته به مجموعه داده نقاط ابر شامل ساختار فیلتر گذاری مجموعه سیمپلکسی، با برخی از پارامترهای دقت ( مقیاس گذاری) منظم شده، مرتبط است. با راه حل تغییر پارامترها ، برخی از ویژگی های توپولوژیکی در مجموعه سیمپلکسی ظاهر می شود ، در حالی که برخی دیگر ناپدید می شود. بنابراین، هر کدام از ویژگی های توپولوژیکی، یک مقدار تول و مرگ است، و تفاوت میان این دو مقدار نشان دهنده تداوم آن ویژگی است. ویژگی توپولوژیکی که برای محدوده بزرگتر از مقیاس ها ادامه می یابد، می تواند به عنوان یکی از مهمترین ویژگی ها مورد توجه قرار گیرد، در حالی که یک ویژگی که برای محدوده کوچکتر همچنان ادامه می یابد، می تواند به عنوان یک ویژگی کم اهمیت یا نویزی مورد توجه قرار گیرد. یک کیفیت مهم روش هماهنگی پایداری این است که نیازی به قطع ساختگی بین «نشانه» و «نویز» نیست؛ تمام ویژگی های توپولوژیکی که از داده ها ظاهر می شوند، نگهداری می شوند و وزن آنها بر اساس تداومشان تعیین می شود. خروجی روش فیلترگذاری در یک شکل مختصر توسط یک نمودار پایداری گرفته شده است. دو مختصات هر نقطه در نمودار، نشان دهنده مقدار تولد و مرگ یک منفذ k بعدی است. یک ابزار جایگزین برای خلاصه کردن اطلاعات موجود در یک نمودار پایداری، یک چشم انداز پایداری است [5،6]. بعدی شامل یک توالی از توابع پیوسته و خطی تکه ای تعریف شده در مختصات مرگ و میر مجدد است که از نمودار پایداری مشتق شده است. نمودارهای پایداری، ساختار فضای متریک طبیعی دارند که در آن به عنوان چشم اندازهای پایداری به طور طبیعی در فضای Banach جاسازی شده است. بنابراین، می توان ویژگی های آماری چشم اندازهای پایداری را مطالعه کرد، به طور مثال، محاسبه انتظارات و واریانس، در میان ویژگی های دیگر [5،7]. یکی از ویژگی های قابل توجه هماهنگی پایداری این است که هر دو نمودار پایداری و چشم اندازهای پایداری در برابر اختلالات بر پایه داده های اصلی هستند. به این معناست که، اگر مجموعه داده یه مقدار کمی تغییر کنند، نمودارهای پایداری / چشم اندازهای پایداری تنها با فاصله کمی حرکت می کنند. این ویژگی عنصری کلیدی برای توسعه آماری ریاضی یافته شده با استفاده از هماهنگی پایداری است. اکتشاف ساختارهای توپولوژیکی پایدار (یا شکل ها) در مجموعه داده های چند بعدی چندگانه منجر به بینش جدیدی شده است، از جمله کشف یک زیر گروه از سرطان های سینه [8]، به طور فعال در پردازش تصویر [9]، در سیگنال و سری زمانی تجزیه و تحلیل [10-15] استفاده می شد. اخیرا در ابتدا برای شناسایی و تعیین الگوهای دوره ای کمی داده ها [16،17]، برای درک طبیعت بی نظمی جاذب ها در فضای حالت سیستم های دینامیکی پیچیده [18]، برای تحلیل جریان های بی نظم [19] و همبستگی سهام شبکه ها [20] استفاده شده است. براساس این مطالعات، در این مقاله، بررسی می کنیم که آیا استفاده از TDA برای سری های زمانی مالی می تواند به تشخیص ریسک سیستمی در حال رشد، در بازارهای مالی کمک کند. علیرغم علاقه واضح عملی برای سیاستگذاران و شرکت کنندگان در بازار، پیش بینی وقوع بحران مالی فاجعه آمیز به علت پیچیدگی و عدم استقرار سیستم مالی دشوار است. طی دهه های گذشته، مطالعات تجربی و نظری در حال رشدی وجود داشته است، با در نظر گرفتن تحلیلی از تغییرات ناگهانی در سیستم های پیچیده طبیعی، طراحی سیگنال های هشدار زود هنگام (EWS) در بازارهای مالی، به دست آمده است، به مثال [21] و منابع آن توجه کنید. مشاهدات بازارهای مختلف نشان می دهد که سقوط های مالی پیش از یک دوره افزایش واریانس شاخص های بازار سهام، تغییر تراکم طیفی سری های زمانی به سمت فرکانس های پایین و همچنین روابط متقابل رو به رشد است. با این حال، هیچ توافقی در مورد مکانیزم بحران های مالی وجود ندارد. علاوه بر این، حتی پیش بینی نسبتا کوتاه مدت نزدیک شدن به فاجعه مالی همچنان یکی از چالش های حل نشده است. سری های زمانی بازده روزانه چهار شاخص عمده بازارهای سهام آمریکا را تحلیل می کنیم: S&P500، DJIA، NASDAQ، و Russell 2000. در مجموع، این سیگنال های یک بعدی نویزی، سری های زمانی چند بعدی در فضای 4 بعدی را تشکیل می دهند. ما یک پنجره رولی از طول مشخص w را در این سری های زمانی اجرا می کنیم، در نتیجه یک نقطه ابر چهار بعدی برای هر نمونه از پنجره را به دست می آوریم. مرحله کشویی برای یک روز تنظیم شده است. سپس هنجارهای LP (P=1 و P=2) چشم اندازهای پایداری حلقه ها در هر نقطه ابرهای 4 بعدی محاسبه می کنیم. نتایج سری های زمانی هنجارهای Lp اجازه می دهد تا تغییرات زمانی را در وضعیت بازار سهام دنبال کنید. ما دریافتیم که سری های زمانی هنجارهای Lp نشان دهنده رشد قوی قبل از اوج اولیه، که در طول سقوط افزایش می یابد، است. به طور قابل توجهی، تراکم طیفی میانگین سری های زمانی هنجارهای چشم اندازهای پایداری نشان دهنده روند صعودی قوی در فرکانس های پایین برای 250 روز کاری قبل از سقوط داتکام در تاریخ 03/10/2000 یا ورشکستگی Lehman در تاریخ 15/09/ 2008 است. مطالعه ما پیشنهاد می دهد که TDA یک نوع جدید از تجزیه و تحلیل های اقتصاد سنجی را فراهم می کند که می تواند برای تشخیص EWS از سقوط حتمی بازارها استفاده شود. این روش بسیار عمومی است و می توان آن را به هر نوع دارایی و سری های زمانی مختلط اعمال کرد. در بخش 2 بررسی مختصر و غیر رسمی ای از پیشینه TDA و مفاهیم کلیدی مورد استفاده در این مقاله را ارایه می دهیم. در بخش 3 روش خود را که در بالا توضیح داده شد را با روش مختصات محاطی تاخیر زمانی (traditional time-delay coordinate embedding procedure.) سنتی مقایسه می کنیم. روش پیشنهادی را در چندین سری زمانی چند بعدی ای که توسط مدل های غیر خطی و غیر تعادلی ایجاد شده است، آزمایش می کنیم. این آزمایش ها برای ارزیابی اینکه چگونه ویژگی های تحت فرایند بر چشم اندازهای پایداری تاثیر می گذارد، کمک می کند. در هر مورد، اجازه می دهیم که پارامترهای فرآیند اساسی در شیوه های خاصی تغییر کنند و مشاهده کنیم که کدام ویژگی های سیگنال باعث رشد هنجارهای Lp چشم اندازهای پایداری می شود. بخش چهارم یافته های ما را در مورد اطلاعات مالی نشان می دهد که نشانگر سری های زمانی هنجارهای چشم اندازهای پایداری است و تنوع آن می تواند به عنوان EWS جدیدی از نزدیک شدن به سقوط بازار استفاده شود. بخش 5 مقاله را به پایان می رساند.