به حداکثر و به حداقل رساندن محدودیت سرمایه¬گذاری با محدودیت¬های بودجه و ریسک سرمایه¬گذاری

در این مقاله، به عنوان گام اول در بررسی ویژگی های یک زیرمجموعه پرتفوی محتمل مشخص شده توسط محدودیت های ریسک و بودجه، ما حداکثر و حداقل تمرکز سرمایه گذاری را با استفاده از تجزیه و تحلیل نسخه بدل ارزیابی نمودیم. به منظور انجام این مهم، ما یک رویکرد تحلیلی از مکانیک های آماری اعمال کردیم. ما متوجه شدیم که مشکل بهینه سازی در نظر گرفته شده در این مقاله، در واقع همان مساله دوگانه مربوط به مشکل بهینه سازی پرتفوی بررسی شده در متون بوده، و تایید کردیم که این راه حل های بهینه نیز دوگانه هستند. ما همچنین آزمایشات عددی ارائه نمودیم، که در آن روش کندترین نزول براساس روش لاگرانژ ضرایب تعیین شده را به کار برده، و نتایج عددی را به منظور ارزیابی اثربخشی رویکرد پیشنهادی خود با نتایج حاصل از تجزیه و تحلیل نسخه بدل مقایسه نمودیم.

مساله بهینه سازی پرتفوی یکی از مهم ترین موضوعات تحقیقاتی در حوزه امور مالی ریاضیات بوده، و به خوبی می دانیم که ریسک سرمایه گذاری را میتوان با ایجاد تنوع در دارایی ها مطابق با دانش حاصل از راه حل-های بهینه ارائه شده برای این مشکل، کاهش داد. تحقیقات پیشرو در زمینه این موضوع توسط Markowitz در 1952 گزارش شده، و همچنان یکی از حوزه های فعال تحقیقاتی است. چندین مطالعه به تازگی انواعی از مدل های سرمایه گذاری که از رویکردهای تحلیلی توسعه یافته در حوزه های چند-موضوعی استفاده می کنند، مانند تجزیه و تحلیل نسخه بدل، روش های انتشار باور و کاربرد توزیع مقادیر ویژه در ماتریس های تصادفی، را در نظر گرفتند. برای مثال، Ciliberti و همکاران به منظور بررسی حداقل ریسک سرمایه گذاری به ازای هر دارایی هنگام اعمال مدل انحراف مطلق یا مدل کسری مورد انتظار، از تجزیه و تحلیل نسخه بدل در محدوده دمای مطلق صفر استفاده نمودند. Kondor و همکاران حساسیت به نویز را برای چندین تابع ریسک، از جمله ریسک داخل نمونه، ریسک خارج از نمونه و ریسک پیش بینی شده، تعیین کردند. علاوه بر این، Pafka و همکاران رابطه بین تعداد دوره های سرمایه گذاری و ارزش دارایی ها، و همچنین خطرات متعدد سرمایه گذاری مانند ریسک پیش بینی شده و ریسک عملی را مورد بررسی قرار دادند. Shinzato از تجزیه و تحلیل نسخه بدل به منظور نشان دادن این امر که برای مدل میانگین-واریانس، حداقل ریسک سرمایه گذاری و میزان تمرکز بر آن میانگین سرمایه گذاری مورد نیاز را تعیین می کنند، استفاده نمود. علاوه بر این، Shinzato رویکرد نسخه بدل به کار رفته در {11} را توسعه داده و مدل میانگین-واریانس را با انواع غیر-مشابه بازده دارایی مورد تحلیل قرار داد. علاوه بر این، Shinzato و همکاران یک الگوریتم براساس روش انتشار باور به منظور حل پرتفوی بهینه هنگام استفاده از مدل میانگین-واریانس و مدل انحراف مطلق توسعه داده، و گمانه زنی Konno-Yamazaki برای یک سیستم مختل خاموش شده را تایید کردند. Varga-Haszonits و همکاران از تجزیه و تحلیل نسخه بدل به منظور بررسی حداقل واریانس انحراف در تفاضل بین بازده واقعی و بازده مورد انتظار و سرحد کارآمد برای مدل میانگین-واریانس براساس محدودیت های بازده و بودجه استفاده نمودند. علاوه بر این، Shinzato به حداقل رساندن مشکل ریسک سرمایه گذاری براساس محدودیت های بودجه و بازده مورد انتظار با استفاده از دوگانگی مشکل بهینه سازی پرتفوی را مورد بررسی قرار داد. به تازگی، Shinzato از تجزیه و تحلیل نسخه بدل به منظور بررسی حداقل ریسک سرمایه گذاری برای مدل میانگین-واریانس با محدودیت های تمرکز سرمایه گذاری و بودجه استفاده نمود. از میان مطالعات بررسی شده در بالا، حداقل ریسک سرمایه گذاری برای یک مدل میانگین-واریانس با چندین محدودیت تنها در منابع {15، 16} به عنوان یک گسترش طبیعی از مدل میانگین-واریانس با محدودیت بودجه در نظر گرفته شده در منبع {11} مورد مطالعه قرار گرفت. به نظر می رسد مشکل دوگانه در این مشکلات بهینه سازی پرتفوی گنجانده شده است. به منظور درک بهتر این مشکلات بهینه سازی، ما از ساختاری دو گانه برای تحلیل آن ها استفاده نمودیم. با این حال، در بررسی های متعدد انجام شده برای این مشکل که از رویکردهای تحلیلی استفاده گریده و در زمینه های متقابل-رشته ای توسعه یافته اند (از جمله تجزیه و تحلیل نسخه بدل و رویکردی براساس استفاده از توزیع مقادیر ویژه با ماتریس های تصادفی)، مطالعات اندکی پتانسیل یک سیستم سرمایه گذاری که فعالانه از یک ساختار دوگانه و مشکل دوگانه استفاده کرده باشد را مورد تحلیل قرار داده اند. Shinzato ابتدا ساختار دوگانه مساله بهینه سازی پرتفوی را اعمال نموده، حداقل ریسک سرمایه گذاری را براساس محدودیت های بودجه و بازده مورد انتظار و به حداکثر رساندن بازده مورد انتظار براساس محدودیت های بودجه و ریسک سرمایه گذاری از دیدگاه های متعدد، مورد تجزیه و تحلیل قرار داد. اگرچه به حداقل رساندن ریسک سرمایه گذاری براساس محدودیت بودجه و محدودیت سرمایه گذاری پیشتر در {16} گزارش شده، ما می خواهیم به عنوان پشتیبان، مشکل دوگانه بهینه سازی را مورد بررسی قرار دهیم. از آنجا که تمرکز سرمایه گذاری یک آمار مشابه شاخص Herfindahl-Hirschman (HHI) می باشد، بررسی طیف (یا کرانه های بالا و پایین) تمرکز سرمایه گذاری در پرتفوی بهینه هنگام سرمایه گذاری به صورت بهینه معتبر است. رابطه بین تمرکز سرمایه گذاری و HHI در {15} نشان داده شده بود. به عنوان گام اول در بررسی چارچوب ریاضیاتی یک ساختار دو گانه، هدف ما در این مقاله حل مشکل دوگانه در بهینه سازی پرتفوی و مشخص نمودن ساختار دو گانه این مشکلات بهینه سازی است. این مقاله به صورت زیر سازماندهی شده: در بخش 2، ما به مساله دوگانه بهینه سازی پرتفوی با محدودیت های تمرکز بودجه و سرمایه گذاری، همانطور که در منبع {16} بررسی شده، رسیدگی می کنیم. در بخش 3، از تجزیه و تحلیل نسخه بدل به منظور بررسی این مشکل دوگانه استفاده می نماییم. در بخش 4، نتایج تجزیه و تحلیل نسخه بدل را با نتایج حاصل از آزمایشات عددی مقایسه کرده و اثربخشی روش پیشنهادی خود را ارزیابی می کنیم. در بخش 5، نتیجه گیری ارائه داده و حوزه های تحقیقات آینده را بررسی می کنیم.